Dynamic Programming

본 게시글은 인하대학교 유상조 교수님의 Reinforcement Learning Tutorial Seminar

수강 후정리를 위한 포스팅입니다.

모든 포스팅의 저작관은 유상조 교수님에게 있음을 사전 공지합니다.

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Before This Episode

https://jinwoo-jung.tistory.com/16

Bellman Optimality Equation

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$S,A,P,R,\gamma$가 주어진 MDP에서 최적의 policy를 구하는 방법은 이전에 소개한 Bellman Optimality Equations로 계산할 수 있다.

$$v_*(s) = \underset{a}{max} \sum_{s',r}^{}p(s',r|s,a)[r+\gamma v_*(s')]$$

$$or$$

$$ q_*(s,a) = \sum_{s',r}^{}p(s',r|s,a)[r+\gamma \ \underset{a'}{max} \ q_*(s',a')]$$

 

State $s$에서의 최적의 state-value는 정해진 확률로 다음 state $s'$로 이동하고, 그때 받는 reward가 $r일 때,

$ r + \gamma v_*(s') $값이 최대가 되는 action에 의해 변화되는 $s'$에서의 state-value로 결정되며 이때의 policy가 최적의 policy임을 의미한다.

 

State $s$에서의 최적의 action-value 역시 action $a$를 했을 때, 정해진 확률로 변화되는 $s'$에서 선택 가능한 action $a'$중 action-value가 가장 큰 action으로 결정되며, 이때의 policy가 최적의 policy임을 의미한다.

 

하지만 optimal state-value, action-value 모두 미래의 값으로 정의되기에 현재 state에서는 알 수 없다. 

따라서 Model-based setup 즉, 사전에 $<S,A,P,R,\gamma>$를 모두 알고있는 경우 우리는 state-values, action-values를 계산하여 최적의 값을 구할 수 있다.

이때, Policy Evalution과 Policy Improvement를 통해 최적의 Policy에 접근할 수 있다.

 

Policy Evaluation

 

Policy Evaluation는 임의의 policy $\pi$에 대하여 state-value function $v_{\pi}$를 계산하는 것이다.

$$v_{\pi}(s) =\sum_{a}^{} \pi(a|s) \sum_{s',r}^{}p(s',r|s,a)[r+\gamma v_*(s')]$$

 

선형적으로 $v_{\pi}$에 대한 계산이 가능하지만, 매우 복잡하기 때문에 iterative solution methods를 적용하여 해결하는 것이 Dynamic Programming이다.

 

Dynamic Programming

 

$v_{k+1}(s)$에서는 $v_{\pi}(s')$는 $k+1$의 상황에서 알지 못하는 미래의 값이기 때문에, 이를 iterative하게 해결하기 위해서 $v_k(s')$으로 바꿈으로써 해결할 수 있다.

$$v_{k+1}(s) =\sum_{a}^{} \pi(a|s) \sum_{s',r}^{}p(s',r|s,a)[r+\gamma v_k(s')]$$

이때, update하는 방법에는 두가지 방법이 있는데, 먼저 Synchronous(동기식)의 경우 $v_k(s), v_{k+1}(s)$ 두가지 값을 각각 다른 배열에 저장하여 모든 정보를 사용한다. Asynchronous(비동기식)의 경우 하나의 배열만 사용하는 in-place 방식으로, $v_{k+1}(s)$로의 update가 있으면 바로 이전 갚을 update함으로써 동기식 방법보다 더 빠른 속도로 수렴함을 알 수 있다.

 

MDP Example

 

위의 MDP가 주어졌다는 가정 하에 Dynamic Programming을 통한 Policy Evaluation을 진행 해 보자.

Reward는 constant, State의 변화는 Diterministic, $\gamma$ = 1, $\pi$는 random selection한다고 가정 해 보자.

Iterative하게 계산하기 위해 초기값 $v_0(s_1)= v_0(s_2)= v_0(s_3) = 0$으로 가정한다.

 

$1_{st}$의 경우 $v_1(s_1)=0.5(4+v_0(s_2))+0.5(2+v_0(s_3))=3$이다. $v_1(s_2)=0.5(2+v_0(s_1))+0.5(3+v_0(s_3))=3$이다. 이 식을 잘 보면, 이미 $s_1$에 대한 state-value는 $v_1(s_1)$을 계산하는 과정에서 update 되었지만, 여전히 $v_0(s_1)$의 값을 이용하는 것을 확인할 수 있다. 즉, 동기식이다.

만약 비동기식으로 계산한다면, $v_1(s_2)=0.5(2+v_1(s_1))+0.5(3+v_0(s_3))=4$가 된다.

$v_1(s_3)$ 역시 비동기식으로 계산하면 $v_3(s_3) = 0.5(4+v_0(s_1)) = 2$이다.

 

Iterative Policy Evalution

 

Dynamic Programming을 통한 Policy Evaluation을 Sudo-Code로 나타내면 위와 같다. 초기 state-value를 설정하고 반복적으로 state-value를 update한 후 이전 값과의 차이가 가장 큰 값이 threshold보다 작을 때 까지 반복한다. 따라서 그때의 policy가 최적의 policy로 도출된다.

 

Iterative Policy Evalution Example

 

위 예시를 통해 더 정확히 이해할 수 있을 것이다. k가 무한대로 가면 각 state에서의 state-value는 최적의 값을 가지게 되고 그때의 policy가 optimal policy가 된다. 음수로 표현되는 것은 모든 state의 변화에 대한 reward가 -1이기 때문이다. 

 

Policy Improvement

 

Policy Improvement는 Evaluation된 특정한 policy $\pi$에 대해서 $v_{pi}$를 알고 있을 때, greedy action을 통해 Policy Improvement가 가능하다.

 

즉, evalution된 특정한 policy에 의해서 수행했을 때의 action-value들의 max가 되는 action을 선택하도록 policy를 바꿔준다. 따라서 Evaluation과 Improvement를 반복하면 최적의 Policy로 수렴함을 알 수 있다.

 

따라서 이를 Sudo-Code로 나타내면 아래와 같다.

Policy Iteration

 

하지만 Policy Iteration의 경우 Evaluation 과정에서 반복 횟수가 많아지기에 이를 줄이고 Evaluation과 Improvement를 반복하게 하는 방법이 Value Iteration이다. 실제로 Value Iteration이 더 효과적임을 알 수 있다. 

 

Value Iteration

 

박스 친 부분을 보면 max action을 선택하여 Update를 한다는 의미는 최적의 policy가 되도록 policy가 변하기 때문에 Sudo-Code 상에서는 Policy에 대한 수식은 없지만, update 됨을 예측할 수 있다.